22. 圆锥曲线的单参数表示及应用

名字是自己起的, 有意与三角换元那个参数方程区分.

这个方法应该非常古老，我是在命题人讲座解析几何那本上看到的。

你甚至能将这种东西写到试卷上。

-1. 引入

我们来看这道题.

首先容易算出 $C : y^{2} = 4 x$ .

这个题的第二问明示我们进行齐次化进而把第三问也做出来, 但实际上, 对于第三问, 我们有一个直接得多的做法：

设 $N (a^{2}, 2 a), M (b^{2}, 2 b), Q (c^{2}, 2 c)$ , 则：

$N A M$ 共线得 $\frac{2 a - 2}{a^{2} - 2} = \frac{2 b - 2}{b^{2} - 2}$ , 化简得 $a b + 2 = a + b$ 即 $b = \frac{a - 2}{a - 1}$ ；

同理, 由 $B M Q$ 共线得 $c = \frac{b + 2}{2 b - 1}$ .

代入整理得 $c = \frac{3 a - 4}{a - 3}$ , 容易验证, $Q N$ 过定点 $(4, 6)$ , 于是做完了.

注. 实际上给定的两个顶点关于圆锥曲线共轭. 可以证明, 对于一般的圆锥曲线, 这样连线后必过定点, 且定点与给定两点构成自极三角形.

熟知抛物线可以用一个参数表示其上的点 (如 $y^{2} = 2 p x$ 上的点可表示为 $(2 p t^{2}, 2 p t)$ ), 进而简化弦过定点的计算. 对于椭圆和双曲线, 有没有类似的手法呢?

0. 约定

在下面的讨论中, 如未加说明, 讨论的都是直线, 而不是线段. 意思是, 当我说弦过定点时, 指的是弦所在的直线过定点.

下面的讨论将不断涉及分式形式的函数, 这里有必要做一点约定.

对于 $a, b \in R$ , 我们定义:

$a \pm \infty = \infty$
$\frac{a}{0} = \infty, \frac{a}{\infty} = 0, \frac{a \times \infty}{b \times \infty} = \frac{a}{b} (a, b \neq 0)$

记 $\overset{―}{R} = R \cup \infty$ .

这里约定的涉及无穷的运算, 也可以理解为趋近于无穷的极限.

比如, 设 $a = \infty$ , 那么 $\frac{2 a - 3}{a + 1} = 2, \frac{3}{a + 1} = 0$ .

1. 圆锥曲线的单参数表示

对于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , 我们先进行三角换元, 然后使用万能公式代入得

{\begin{cases} x = a \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \\ y = b \frac{2 t}{1 + t^{2}} \end{cases}

这里 $t \in \overset{―}{R}$ .

容易证明这是一个一一对应, 即圆锥曲线上的每个点也对应一个 $t$ .

注. 三角换元不是本质的, 这只是一种简单的理解.

对于点 $P$ , 如果它对应的参数为 $p$ , 我们简记为 $P (p)$ , 或者直接用 $p$ 表示点.

我们来算一下弦的斜率, 对于 $s, t$ , 有

k_{s t} = \frac{2 b}{a} \frac{\frac{s}{1 + s^{2}} - \frac{t}{1 + t^{2}}}{\frac{1 - s^{2}}{1 + s^{2}} - \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}} = \frac{b}{a} \frac{s t - 1}{s + t}

弦的方程

s t : y = \frac{b}{a} \frac{s t - 1}{s + t} (x - a \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}) + b \frac{2 t}{1 + t^{2}}

化简得

s t : \frac{(s + t) y}{b} = \frac{(s t - 1) x}{a} + (s t + 1)

令 $s = t$ 可得切线方程

l_{t} : \frac{2 t y}{b} = \frac{(t^{2} - 1) x}{a} + (t^{2} + 1)

对于双曲线, 手法完全相同 (三角换元换 $\sec$ 和 $\tan$ ), 得

{\begin{cases} x = a \frac{1 + t^{2}}{1 - t^{2}} \\ y = b \frac{2 t}{1 - t^{2}} \end{cases} (t \in \overset{―}{R})

注意两个无穷远点也可以被表示.

对于 $s, t$ , 有

k_{s t} = \frac{b}{a} \frac{s t + 1}{s + t}

s t : \frac{(s + t) y}{b} = \frac{(s t + 1) x}{a} + (s t - 1)

l_{t} : \frac{2 t y}{b} = \frac{(t^{2} + 1) x}{a} + (t^{2} - 1)

2. 分式线性函数

观察上面弦的方程, 容易发现, 给定 $x, y$ 时, 两个参数之间的关系形如

s = \frac{a t + b}{c t - a} (s, t \in \overset{―}{R}, a, b, c \in R)

一般的情况是

s = \frac{a t + b}{c t + d} (s, t \in \overset{―}{R}, a, b, c, d \in R)

如果你尝试把两个分式线性函数复合, 容易发现复合后各项系数恰为矩阵乘法的形式, 因此我们引入记号

s = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] t

来表示上面的分式线性函数.

那么复合可以写为

[\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}] ([\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] t) = ([\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]) t = [\begin{matrix} e a + f c & e b + f d \\ g a + h c & g b + h d \end{matrix}] t

对于分式线性函数来说, 上下可以约分, 因此若两个矩阵可以通过数乘相互得到, 我们就称其为相互等价的, 这里记为

[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \sim [\begin{matrix} k a & k b \\ k c & k d \end{matrix}] (k \neq 0)

沿用矩阵的传统, 我们可以用大写字母表示矩阵, 如

M = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]

另外, 若存在 $s, t (s \neq t)$ 使

s = M t, t = M s

直接计算即可验证 $M$ 中 $a + d = 0$ , 此时称 $M$ 是一个对合.

一般的分式线性函数需要三组关系来确定, 但对于对合, 两组即可, 具体地, 若对合 $M$ 满足 $p = M q, r = M s$ , 计算可知

M = [\begin{matrix} p q - r s & (p + q) r s - (r + s) p q \\ p + q - r - s & r s - p q \end{matrix}]

3. 过定点的讨论

注意弦斜率恒定本质上也是过定点, 这可以用齐次坐标(见附录)进行更好的描述. 不过我们一般不会把齐次坐标显式写出.

另外容易发现在齐次坐标下, 双曲线可以看成 $x \Leftrightarrow a z$ 替换椭圆的结果, 因此公式形式相似.

直接计算可得:

若 $S T$ 过 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , 则:
- 对于椭圆 (使用上面的形式): $s = [\begin{matrix} a y_{0} & b (x_{0} - a z_{0}) \\ b (x_{0} + a z_{0}) & - a y_{0} \end{matrix}] t$
- 对于双曲线 (使用上面的形式): $s = [\begin{matrix} a y_{0} & b (a z_{0} - x_{0}) \\ b (a z_{0} + x_{0}) & - a y_{0} \end{matrix}] t$
若 $s = [\begin{matrix} p & q \\ r & - p \end{matrix}] t$ , 则:
- 对于椭圆 (使用上面的形式): $S T$ 过 $P (a (r + q), 2 b p, r - q)$
- 对于双曲线 (使用上面的形式): $S T$ 过 $P (a (r - q), 2 b p, r + q)$

$S T$ 过 $P$ , 换一个视角就是 $P$ 点实际上确定了一个变换, 将 $S$ 映为 $T$ , 将 $T$ 映为 $S$ , 这也对应了 $s = M t, t = M s$ . $M$ 实际上描述了变换.

4. 例题

例1. (青德尔庄周四小测) $Γ : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1, A (- 2, 0), B (2, 0)$ , $l$ 过 $(0, - 1)$ 且交 $Γ$ 于 $P, Q$ , 满足 $k_{A P} + 2 k_{B Q} = 0$ , 求 $k_{P Q}$ .

第三定义+齐次化可做, 但是:

$A (\infty), B (0), P (p), Q (q)$ , 由 $k_{A P} + 2 k_{B Q} = 0$ 化简得 $p q = - 2$ .

另一方面, $P Q$ 过 $(0, - 1)$ 得 $q = [\begin{matrix} - 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix}] p$ , 结合乘积关系得 $p + q = 3$ .

于是 $k_{P Q} = \frac{p q + 1}{2 (p + q)} = - \frac{1}{6}$ .

例2. (杭州学军高二期末) $Γ : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1, A (- 2, 0), B (0, - 1), C (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ , 另外 $Γ$ 上 $D, E, F$ 满足 $D E / / A B, D F / / B C$ , 求证 $A F / / C E$ .

Pascal 板题, 出题人素质很差！

解: $A (\infty), B (- 1), C (\sqrt{2} - 1), D (d), E (e), F (f)$ , 由题知 $d = [\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] e, f = [\begin{matrix} - (\sqrt{2} + 1) & - 1 \\ - 1 & \sqrt{2} + 1 \end{matrix}] d$ , 复合后化简得 $f = [\begin{matrix} \sqrt{2} - 1 & - 1 \\ 1 & \sqrt{2} - 1 \end{matrix}] e$ . 另外化简 $A F / / C E$ 后也是这个形式, 于是得证.

例3. (共轭性) $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , 其上有四点 $A, B, C, D$ , $A B, C D$ 交于 $(x_{1}, y_{1})$ , $A D, B C$ 交于 $(x_{2}, y_{2})$ , 求证 $\frac{x_{1} x_{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1} y_{2}}{b^{2}} = 1$ .

解: 先别急着算, 我们考虑依次经过两个点的复合变换, 它将 $A$ 映为 $C$ , 将 $C$ 映为 $A$ , 于是这个变换是对合, 对应的矩阵满足 $a + d = 0$ . 也就是说:

[\begin{matrix} a y_{2} & b (x_{2} - a) \\ b (x_{2} + a) & - a y_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} a y_{1} & b (x_{1} - a) \\ b (x_{1} + a) & - a y_{1} \end{matrix}]

乘开后满足 $a + d = 0$ . 计算即得.

注. 这实际上是两个点下对合的复合为对合的充要条件.

例4. $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , $x$ 轴上有三个点 $P, Q, R$ . 任取 $Γ$ 上点 $A$ , $A P$ 所在直线另交 $Γ$ 于 $B$ , $B Q$ 所在直线另交 $Γ$ 于 $C$ , $C R$ 所在直线另交 $Γ$ 于 $D$ . 求证 $A D$ 过定点.

读者自证不难（？），结论参见 20.

例5. (2022全国乙) 题目略, 可自行查找.

调和结论立得, 但是没法写过程.

这个题一个难点是如何描述 $P M N$ 共线, 我们顺理成章设 $M (m), N (n)$ , 得到 $n = [\begin{matrix} - \sqrt{3} & 1 - \sqrt{3} \\ 1 + \sqrt{3} & \sqrt{3} \end{matrix}] m$ .

因为 $A$ 的位置比较特殊, 我们能轻松写出 $A B, A N$ 的方程, 代入 $y_{M}$ 解出 $H, T$ 的坐标, 代到中点的结论里面, 最后只剩下 $m, n$ , 化简即可.

懒得写出具体计算过程了, 感兴趣的可以自行研究.

附录: 齐次坐标初步

对于二维平面, 我们本来用 $(x, y)$ 两个坐标描述点, 但这样难以表示各个方向的无穷远点.

我们增加一个参数 $z$ , 当 $z = 1$ 时表示正常的点, $z = 0$ 时表示向量 $(x, y)$ 方向的无穷远点 (注意一条直线两端的无穷远点是同一个). 另外, 当 $z \neq 0, 1$ 时, 规定 $(x, y, z)$ 和 $(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}, 1)$ 表示的点相同.

此时 $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ 不表示任何点, 并且 $(x, y, z)$ 与 $(k x, k y, k z) (k \neq 0)$ 表示的点相同.

易知使用齐次坐标后方程就会成为关于 $x, y, z$ 的齐次式, 比如:

直线: $A x + B y + C = 0 \Rightarrow A x + B y + C z = 0$

抛物线: $y^{2} = 2 p x \Rightarrow y^{2} = 2 p x z$

你有可能发现了直线方程 $A x + B y + C z = 0$ 比较特殊. 如果我们也用一组坐标 $(A, B, C)$ 来描述直线, 那么这个方程既说明了点在线上, 也说明了线过点, 实际上是描述了点和线的结合关系.

另外我们实际上有一种比较优雅的方式来写这个方程, 就是我们可以将两组坐标 $l (A, B, C), P (x, y, z)$ 看做向量, 那么该方程也可写为

l \cdot P = 0

另外, 计算可知我们能够用叉乘来描述过两点的线与两线交点:

l = P \times Q, P = l_{1} \times l_{2}

定比分点与直线系的描述更为简单, 就是线性组合:

l_{3} = λ l_{1} + μ l_{2}, R = λ P + μ Q